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Unidad IV

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

$\overbrace{3x-1}^{\text{primer miembro}}=\overbrace{9+x}^{\text{segundo miembro}}$

la variable $x \,$ representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que sólo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

$x = 5 \,$

as ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:

Ecuaciones algebraicas

Polinómicas o polinomiales
De primer grado o lineales
De segundo grado o cuadráticas
Diofánticas o diofantinas
Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios

Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.

Ecuaciones diferenciales

Ordinarias
En derivadas parciales

Ecuaciones integrales
Ecuaciones funcionales

Inecuaciones

En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad.¹ ² Si la desigualdad es del tipo $<$ o $>$ se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo $\le$ o $\ge$ se denomina inecuación en sentido amplio.

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

Ejemplo de inecuación incondicional: $|x| \le |x|+|y|$ .
Ejemplo de inecuación condicional: $-2x+7<2$ .

Tipos de Inecuaciones

Unidad III

Radicación

En matemática, la radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que $\scriptstyle b^n = a$ , donde n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre. La notación a seguir tiene varias formas:

$\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ .

Para todo n natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia:

$a = b^n \iff b = \sqrt[n]{a}$ .

Dentro de los números reales $\scriptstyle \R^+$ positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima también positiva. Si el número a es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar . La raíz enésima de un número negativo no es un número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice n es par.

Dentro de los números complejos $\scriptstyle \mathbb{C}$ , para cada número z siempre es posible encontrar exactamente n raíces enésimas diferentes.

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: $\sqrt{x}$ en vez de $\sqrt[2]{x}$ .La raíz de orden tres se llama raíz cúbica.

Propiedades

Como se indica con la igualdad de la raíz $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$ , la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores nombrados anteriormente.

$\sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}}$ = $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$ = $\sqrt[n \cdot m]{a}.$

Potencia de una raíz

Para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando a esa potencia.

$\left(\sqrt[n]{a} \right)^m =\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

Operaciones con radicales

Suma y resta

Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplos:

a) O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.

b) Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:

Ahora si son semejantes y podemos sumarlos

c) No son semejantes

se suman los que son semejantes

y ya no podemos hacer nada más

Multiplicación y división

Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.

Ejemplos:

f) no tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador común.

ahora si se pueden multiplicar

Unidad II

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Ejemplo: Expresa el perímetro y el área de un terreno rectangular.
Si suponemos que mide X metros de largo e Y metros de ancho, tenemos que:

Perimetro = 2X + 2Y

Area = X · Y

Clasificación de polinomios.

Por número de términos:

Monomio
Es un polinomio que consta de un sólo monomio.
P(x) = 2x²

Binomio
Es un polinomio que consta de dos monomios.
P(x) = 2x² + 3x

Trinomio
Es un polinomio que consta de tres monomios.
P(x) = 2x² + 3x+11

Pasando de tres términos se llama en general Polinomio

Por grado (ordenado de mayor a menor exponente, se nombra según el exponente mayor)

Polinomio de grado cero
P(x) = 2

Polinomio de primer grado
P(x) = 3x + 2

Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x²+ 3x + 2

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

1. Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x ³− 3x² + 4x

P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³− 3x²+ 4x)

2. Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

3. Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

1. P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

2. P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

3. P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

4. P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3

Productos notables

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

1. Factor Común

El resultado de multiplicar un binomio $a+b$ por un término $c$ se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

$c (a + b) = c a + c b \,$

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es

$c (a + b) \,$ (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: $ca$ y $cb$

Ejemplo:

$3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,$

2. Cuadrado de un binomio

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

$(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,$

Un trinomio de la expresión siguiente: $a^2 + 2 a b + b^2 \;$ se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:

$(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,$

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.

Ejemplo:

$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,$

Simplificando:

$(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,$

3. Producto de dos binomios con un término común

Para resolver un binomio con término común se tiene que identificar el término común: en este caso X, la cual se eleva al cuadrado, mas la suma de los no comunes: (a)(b) el resultado se multiplica por X mas la multiplicación de no los comunes:

$(x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \,$

Ejemplo:

$(3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) \,$

Agrupando términos:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \,$

Luego:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,$

4. Producto de dos binomios conjugados

Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,$

Ejemplo:

$(3x+5y)(3x-5y) = \,$

$(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,$

Agrupando términos:

$(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,$

Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

$(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \,$

Factorización de polinomio

Una factorización de un polinomio de grado n es un producto de como mucho $\scriptstyle m \le n$ factores o polinomios de grado $\scriptstyle n_k \le n$ con $\scriptstyle 1 \le k \le m$ . Así por ejemplo el polinomio P(x) de grado 5 se puede factorizar como producto de un polinomio de grado 3 y un polinomio de grado 2:

$P(x) = x^5-x^3+69x^2-20x+16 = (x^3+4x^2-x+1)(x^2-4x+16)\,$

domingo, 29 de diciembre de 2013

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