domingo, 29 de diciembre de 2013

Unidad II

Expresiones algebraicas


Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.


Ejemplo: Expresa el perímetro y el área  de un terreno rectangular.
 Si suponemos que  mide metros de largo e metros de ancho, tenemos que:

  • Perimetro = 2X + 2
  • Area =  X · Y
Clasificación de polinomios.
Por número de términos:

Monomio
Es un polinomio que consta de un sólo monomio.
P(x) = 2x²

Binomio
Es un polinomio que consta de dos monomios.
P(x) = 2x² + 3x

Trinomio
Es un polinomio que consta de tres monomios.
P(x) = 2x² + 3x+11

Pasando de tres términos se llama en general Polinomio

Por grado (ordenado de mayor a menor exponente, se nombra según el exponente mayor)

Polinomio de grado cero
P(x) = 2

Polinomio de primer grado
P(x) = 3x + 2

Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x²+ 3x + 2

Suma de polinomios 

 Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

   Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1. Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x 3− 3x2 + 4x

P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x− 3x2+ 4x)

2. Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

3. Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3


Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

1. P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

2. P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

3. P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3

4. P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

Productos notables 
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
       1. Factor Común
El resultado de multiplicar un binomio  a+b  por un término  c  se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
 c (a + b) = c a + c b \,
Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es
 c (a + b) \, (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas:  ca  y  cb
Ejemplo:
 3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,

2. Cuadrado de un binomio
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:
 (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,
Un trinomio de la expresión siguiente: a^2 + 2 a b + b^2 \; se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:
 (a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,
En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.
Ejemplo:
(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,
Simplificando:
(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,
     3. Producto de dos binomios con un término común
Para resolver un binomio con término común se tiene que identificar el término común: en este caso X, la cual se eleva al cuadrado, mas la suma de los no comunes: (a)(b) el resultado se multiplica por X mas la multiplicación de no los comunes:
(x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \,
Ejemplo:
(3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) \,
Agrupando términos:
(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \,
Luego:


(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,
         4. Producto de dos binomios conjugados
Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.
 (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,
Ejemplo:
(3x+5y)(3x-5y) =  \,
(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,
Agrupando términos:


(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,


Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.


(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \,

Factorización de polinomio
Una factorización de un polinomio de grado n es un producto de como mucho \scriptstyle m \le n factores o polinomios de grado \scriptstyle n_k \le n con \scriptstyle 1 \le k \le m. Así por ejemplo el polinomio P(x) de grado 5 se puede factorizar como producto de un polinomio de grado 3 y un polinomio de grado 2:

P(x) = x^5-x^3+69x^2-20x+16 = (x^3+4x^2-x+1)(x^2-4x+16)\,


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