Unidad IV

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.  Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos.  Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

                                                     

la variable  representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que sólo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

as ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:

Ecuaciones algebraicas 

• Polinómicas o polinomiales
• De primer grado o lineales
• De segundo grado o cuadráticas
• Diofánticas o diofantinas
• Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios

Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.

Ecuaciones diferenciales

• Ordinarias
• En derivadas parciales

Ecuaciones integrales
Ecuaciones funcionales

Inecuaciones

En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad.^1 2 Si la desigualdad es del tipo  o  se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo  o  se denomina inecuación en sentido amplio.

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

• Ejemplo de inecuación incondicional: .
• Ejemplo de inecuación condicional: .

Tipos de Inecuaciones

Desigualdades 

1)  - 2 > 0     Es una desigualdad falsa

−−−−√ < 6

2)   7 ≤ 7     Es una desigualdad verdadera

3)   3 ≥ - 5     Es una desigualdad falsa

4)  - 6 < 2     Es una desigualdad verdadera

5)   x > 3     Es una inecuación cuya solución es  (3 , ∞)

6)  - x ≤ 1     Es una inecuación cuya solución es  :  x ≥ - 1    ⇒    [- 1 , ∞)

7)   y - 2 < 3     Es una inecuación cuya solución es  :  y < 5    ⇒    (-∞ , 5)

Inecuación de primer grado

3x > 8   es una inecuación de primer grado y una incógnita.

Observamos que x = 2 no es solución, pues 3·2 = 6 es menor que 8.

Sin embargo, x = 3 sí es solución, pues 3·3 = 9 sí es mayor que 8.

Para encontrar el conjunto de soluciones de la inecuación, despejamos la incógnita x:

      3x > 8   ⇒   

Inecuación de segundo grado

x² ≥ 25   es una inecuación de segundo grado.

Observamos que x = 3 y x = 4 no son solución, pues:

      3² = 9 , no es mayor o igual que 25.

      4² = 16 , no es mayor o igual que 25.

Sin embargo, x = 5 y x = 6 sí son solución, pues:

      5² = 25 , que es igual a 25.

      6² = 36 , sí es mayor o igual que 25.

Inecuación irracional

Admite como soluciones a:  x = 2   y   a   x = 3

No admite como soluciones a:  x = 10   y   a   x = 20