Unidad I

Conjuntos Numéricos

 Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales.

Por ejemplo el sistema más usual en aritmética natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo. 

Números Reales.

Se representan con la letra .

El conjunto de los Números Reales  está integrado por:

• El conjunto de los Números Racionales () que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.  

    

• El conjunto  de los Números Irracionales ( I )  que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.

  Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los Números Reales () está formado por los elementos del conjunto  unido con I  (=  ◡ I).

Operaciones de números reales.

La suma es de una operación interna en R y sus propiedades se enumeran a continuación. Dados a, b y c  R se verifica:

1.     Asociativa: (a+b) + c = a +(b+c)
2.     Elemento neutro: Es el numero 0, ya que a + 0 = 0+a = a
3.     Elemento simétrico: Dado a, su elemento simétrico, llamado opuesto, es –a, ya que se cumple a + (-a) =(-a) + a=0
4.     Conmutativa: a+b = b+a

Con estas propiedades se puede decir que el conjunto de los números reales con la operación suma es un grupo conmutativo.

El hecho de que dado cualquier numero real exista su elemento opuesto permite que la resta en R, defina por a – b = a + (-b). sea una operación interna.

El producto es una operación interna en R y sus propiedades se enumeran a continuación. Dados a, b, y c  R se verifica:

1.      Asociativa: (a.b).c = a.(b.c)
2.     Elemento neutro: Es el numero 1, ya que 1.a = a.1 =a
3.     Elemento simétrico: Dado a0, su elemento simétrico, llamado inverso, es a ^-1 =, ya que se cumple  = 1.
4.     Conmutativa: a.b = b.a
5.     Distributiva respecto a la suma: a. (b+c) = a.b + a.c

Con estas propiedades y las enumeradas para la suma se puede decir que el conjunto de los números reales con las  operaciones suma y producto es un cuerpo conmutativo.

El hecho de que dado cualquier numero real no nulo exista su elemento inverso permite que la división en R, defina por a.b = a.b^-1  =exista siempre que b sea no nulo.

Operaciones de números reales 

Números Racionales

Se representan con la letra 

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo.

Operaciones de números racionales.

Suma y resta de números racionales con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador

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Suma y resta de números racionales con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

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Propiedades de la suma de números racionales

1. Interna: El resultado de sumar dos números racionales es otro número racional.

    

2.  Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

       

 (a + b) + c = a + (b + c) 

3. Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

4. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

5. Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

a + (−a) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

Operaciones de números racionales